ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΝΕΟΛΑΙΑΣ

⚠️ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ — AI Generated

Αυτό το δοκιμαστικό δοκίμιο δημιουργήθηκε από τεχνητή νοημοσύνη (AI) του Σπασίκλα, με βάση τον επίσημο Πίνακα Προδιαγραφών 2026 του Υπουργείου Παιδείας και τα παρελθόντα θέματα Παγκυπρίων Εξετάσεων. Παρότι έγινε προσπάθεια για ακρίβεια, μπορεί να περιέχει λάθη ή ανακρίβειες. Δεν είναι επίσημο δοκίμιο. Χρησιμοποιήστε το ως βοηθητικό υλικό εξάσκησης, όχι ως μοναδική πηγή προετοιμασίας.

Έλεγξε τις απαντήσεις με τον/την καθηγητή/τριά σου ή με τα επίσημα παλαιότερα θέματα.

ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2026 — ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟ (Σπασίκλας)

Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Κωδικός 037) Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 30 λεπτά Σύνολο σελίδων: 4 Επιτρέπεται: Τυπολόγιο και μη προγραμματιζόμενο υπολογιστικό μηχάνημα

Οδηγίες προς υποψηφίους

• Το δοκίμιο αποτελείται από τρία μέρη (Α, Β, Γ) συνολικά 18 ερωτήσεις.
• Να απαντήσετε σε όλες τις ερωτήσεις.
• Στο ΜΕΡΟΣ Α κάθε ερώτηση βαθμολογείται με 4 μονάδες (σύνολο 40).
• Στο ΜΕΡΟΣ Β κάθε ερώτηση βαθμολογείται με 6 μονάδες (σύνολο 30).
• Στο ΜΕΡΟΣ Γ κάθε ερώτηση βαθμολογείται με 10 μονάδες (σύνολο 30).
• Όλες οι λύσεις πρέπει να αιτιολογούνται πλήρως.

ΜΕΡΟΣ Α’ — 10 ερωτήσεις × 4 μονάδες (40 μονάδες)

Α1. (4 μονάδες)

Να υπολογίσετε το όριο:

lim₍x → 0₎ (e⁽3x⁾ - 1 - 3x)/(x²)

Α2. (4 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f.

Α3. (4 μονάδες)

Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα:

∫ (2x + 5)/(x² + 5x + 7) dx

Α4. (4 μονάδες)

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με z(1 + i) = 3 - i. Να βρείτε: (α) τον z σε μορφή a + bi (2 μονάδες) (β) το μέτρο |z| (2 μονάδες)

Α5. (4 μονάδες)

Να υπολογίσετε το άθροισμα:

S = Σ₍k=1₎⁽20⁾ (3k - 2)

Α6. (4 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = arctan(2x). Να βρείτε την f’(x) και την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f στο σημείο με τετμημένη x₀ = 0.

Α7. (4 μονάδες)

Από μια ομάδα 8 αγοριών και 6 κοριτσιών επιλέγεται τυχαία επιτροπή 4 ατόμων. Να βρείτε την πιθανότητα η επιτροπή να αποτελείται από ακριβώς 2 αγόρια και 2 κορίτσια.

Α8. (4 μονάδες)

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο A(1, 3) και έχει κέντρο το σημείο K(-2, -1).

Α9. (4 μονάδες)

Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y² = 12x. Να βρείτε: (α) τις συντεταγμένες της εστίας και την εξίσωση της διευθετούσας (2 μονάδες) (β) την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο A(3, 6) (2 μονάδες)

Α10. (4 μονάδες)

Να υπολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμα:

∫₍0₎⁽π/2⁾ sin x cos³ x dx

ΜΕΡΟΣ Β’ — 5 ερωτήσεις × 6 μονάδες (30 μονάδες)

Β1. (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = dfrac{x² + 1}{x - 1}, με x ≠ 1. (α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C_f. (3 μονάδες) (β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. (3 μονάδες)

Β2. (6 μονάδες)

Με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, να υπολογίσετε:

∫ x² ln x dx, quad x > 0

Β3. (6 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x e⁽-x⁾, x ∈ ℝ. (α) Να εφαρμόσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο διάστημα [0, 1] και να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0, 1) τέτοιο ώστε f’(ξ) = dfrac{1}{e}. (3 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε προσεγγιστικά την τιμή του ξ από την εξίσωση f’(ξ) = dfrac{1}{e}, δηλαδή (1 - ξ) e⁽-ξ⁾ = dfrac{1}{e}. (Αρκεί η μορφή). (3 μονάδες)

Β4. (6 μονάδες)

Σε ένα κουτί υπάρχουν 5 κόκκινες, 4 μπλε και 3 πράσινες σφαίρες. Επιλέγουμε τυχαία χωρίς επανατοποθέτηση 3 σφαίρες. (α) Πόσοι είναι οι δυνατοί συνδυασμοί επιλογής 3 σφαιρών; (2 μονάδες) (β) Να βρείτε την πιθανότητα και οι τρεις σφαίρες να είναι διαφορετικού χρώματος. (2 μονάδες) (γ) Να βρείτε την πιθανότητα οι 2 από τις 3 να είναι κόκκινες. (2 μονάδες)

Β5. (6 μονάδες)

Δίνεται ο κύκλος C: x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0 και το σημείο P(6, 3). (α) Να βρείτε το κέντρο K και την ακτίνα ρ του κύκλου. (2 μονάδες) (β) Να αποδείξετε ότι το P είναι εκτός του κύκλου και να υπολογίσετε το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος από το P προς τον κύκλο. (4 μονάδες)

ΜΕΡΟΣ Γ’ — 3 ερωτήσεις × 10 μονάδες (30 μονάδες)

Γ1. (10 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση

f(x) = (ln x)/(x), quad x > 0.

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f. (3 μονάδες) (β) Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής της C_f. (3 μονάδες) (γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C_f. (2 μονάδες) (δ) Να αποδείξετε ότι e⁽π⁾ > π⁽e⁾. (2 μονάδες)

Γ2. (10 μονάδες)

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγεγραμμένο στο πάνω ημικύκλιο του κύκλου x² + y² = 25 (δηλαδή με τη μία πλευρά πάνω στον άξονα x).

(α) Να εκφράσετε το εμβαδό E(x) του ορθογωνίου ως συνάρτηση της τετμημένης x της δεξιάς κορυφής στον άξονα. (3 μονάδες) (β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε το εμβαδό του να είναι μέγιστο. (5 μονάδες) (γ) Να υπολογίσετε αυτό το μέγιστο εμβαδό. (2 μονάδες)

Γ3. (10 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x², x ∈ [0, 2], και η ευθεία y = 2x.

(α) Να βρείτε τα σημεία τομής της C_f με την ευθεία y = 2x. (2 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε το εμβαδό E του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C_f και της ευθείας y = 2x από το x = 0 έως το σημείο τομής τους με x > 0. (4 μονάδες) (γ) Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται όταν το χωρίο του ερωτήματος (β) περιστραφεί περί τον άξονα x. (4 μονάδες)

— ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ —

Λύσεις (Συνοπτικά)

Δίνονται τα βασικά βήματα και η τελική απάντηση κάθε ερώτησης. Στην εξέταση απαιτείται πλήρης αιτιολόγηση.

ΜΕΡΟΣ Α’

Α1. Εφαρμογή De l’ Hospital δύο φορές (ή ανάπτυγμα Taylor): lim₍x→ 0₎(e⁽3x⁾-1-3x)/(x²) = lim₍x→ 0₎(3e⁽3x⁾-3)/(2x) = lim₍x→ 0₎(9e⁽3x⁾)/(2) = boxed{dfrac{9}{2}}.

Α2. f’(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3). f’ > 0 για x < 1 ή x > 3 (αύξουσα), f’ < 0 για 1 < x < 3 (φθίνουσα). Τοπικό μέγιστο στο x=1: f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = boxed{6}. Τοπικό ελάχιστο στο x=3: f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = boxed{2}.

Α3. Παρατηρούμε ότι (x² + 5x + 7)’ = 2x + 5. Άρα ∫ dfrac{2x+5}{x²+5x+7}dx = ln|x²+5x+7| + c = boxed{ln(x²+5x+7) + c} (η διακρίνουσα 25 - 28 < 0, άρα ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός).

Α4. (α) z = dfrac{3-i}{1+i} = dfrac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = dfrac{3 - 3i - i + i²}{2} = dfrac{2 - 4i}{2} = boxed{1 - 2i}. (β) |z| = √(1 + 4) = boxed{√(5)}.

Α5. S = Σ₍k=1₎⁽20⁾(3k - 2) = 3Σ₍k=1₎⁽20⁾k - 2· 20 = 3·dfrac{20· 21}{2} - 40 = 630 - 40 = boxed{590}.

Α6. f’(x) = dfrac{2}{1+(2x)²} = dfrac{2}{1+4x²}. Στο x₀ = 0: f(0) = 0, f’(0) = 2. Εφαπτομένη: y - 0 = 2(x - 0) ⇒ boxed{y = 2x}.

Α7. P = dfrac{binom{8}{2}binom{6}{2}}{binom{14}{4}} = dfrac{28 · 15}{1001} = dfrac{420}{1001} = boxed{dfrac{60}{143}} ≈ 0,4196.

Α8. Ακτίνα ρ = |AK| = √((1-(-2))² + (3-(-1))²) = √(9 + 16) = 5. Εξίσωση: boxed{(x+2)² + (y+1)² = 25}.

Α9. Από y² = 4px με 4p = 12 ⇒ p = 3. (α) Εστία: boxed{E(3, 0)}, Διευθετούσα: boxed{x = -3}. (β) Παραγωγίζοντας y² = 12x ως προς x: 2yy’ = 12 ⇒ y’ = dfrac{6}{y}. Στο A(3,6): y’ = 1. Εφαπτομένη: y - 6 = 1·(x - 3) ⇒ boxed{y = x + 3}.

Α10. Με u = cos x ⇒ du = -sin xdx. int₀⁽π/2⁾sin x cos³ xdx = -∫₁⁰ u³du = ∫₀¹ u³du = [dfrac{u⁴}{4}]₀¹ = boxed{dfrac{1}{4}}.

ΜΕΡΟΣ Β’

Β1. f(x) = dfrac{x²+1}{x-1}. Πολυωνυμική διαίρεση: f(x) = x + 1 + dfrac{2}{x-1}. (α) Κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x = 1 (αφού lim₍x→ 1⁽±⁾₎ f = ±∞). Πλάγια ασύμπτωτη: y = x + 1 (αφού dfrac{2}{x-1}→ 0 στο ±∞). (β) f’(x) = 1 - dfrac{2}{(x-1)²} = dfrac{(x-1)² - 2}{(x-1)²}. f’(x) = 0 ⇒ (x-1)² = 2 ⇒ x = 1 ± √(2). Πρόσημο: f’ > 0 για x < 1-√(2) ή x > 1+√(2), f’ < 0 στα ενδιάμεσα (εκτός x=1). Τοπικό μέγιστο στο x = 1 - √(2): f(1-√(2)) = (1-√(2)) + 1 + dfrac{2}{-√(2)} = 2 - √(2) - √(2) = boxed{2 - 2√(2)}. Τοπικό ελάχιστο στο x = 1 + √(2): f(1+√(2)) = (1+√(2)) + 1 + dfrac{2}{√(2)} = 2 + √(2) + √(2) = boxed{2 + 2√(2)}.

Β2. Έστω u = ln x, dv = x²dx. Τότε du = dfrac{1}{x}dx, v = dfrac{x³}{3}. ∫ x² ln xdx = dfrac{x³}{3}ln x - ∫ dfrac{x³}{3}·dfrac{1}{x}dx = dfrac{x³}{3}ln x - dfrac{1}{3}∫ x²dx = boxed{dfrac{x³}{3}ln x - dfrac{x³}{9} + c}.

Β3. f(x) = xe⁽-x⁾, f’(x) = e⁽-x⁾(1-x). Η f συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1). (α) Από ΘΜΤ: υπάρχει ξ ∈ (0,1) ώστε f’(ξ) = dfrac{f(1)-f(0)}{1-0} = dfrac{e⁻¹ - 0}{1} = dfrac{1}{e}. (β) Από (1-ξ)e⁽-ξ⁾ = dfrac{1}{e} = e⁻¹. Λύνεται αριθμητικά (Newton-Raphson ή δοκιμή): ξ ≈ 0,315. (Δεκτή κάθε μέθοδος αριθμητικής προσέγγισης.)

Β4. Σύνολο σφαιρών: 5+4+3 = 12. (α) binom{12}{3} = boxed{220} συνδυασμοί. (β) Ευνοϊκές: μία από κάθε χρώμα — 5· 4· 3 = 60. P = dfrac{60}{220} = boxed{dfrac{3}{11}}. (γ) Ευνοϊκές: binom{5}{2}binom{7}{1} = 10· 7 = 70. P = dfrac{70}{220} = boxed{dfrac{7}{22}}.

Β5. C: x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0 ⇒ (x-2)² + (y+1)² = 9. (α) Κέντρο boxed{K(2, -1)}, ακτίνα boxed{ρ = 3}. (β) |KP| = √((6-2)² + (3-(-1))²) = √(16+16) = 4√(2) ≈ 5,66 > 3 = ρ, άρα P εκτός κύκλου. Μήκος εφαπτόμενου τμήματος: ell = √(|KP|² - ρ²) = √(32 - 9) = boxed{√(23)}.

ΜΕΡΟΣ Γ’

Γ1. f(x) = dfrac{ln x}{x}, x > 0. (α) f’(x) = dfrac{1 - ln x}{x²}. f’(x) = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e. f’ > 0 για 0 < x < e (αύξουσα), f’ < 0 για x > e (φθίνουσα). Τοπικό (και ολικό) μέγιστο στο x = e: f(e) = dfrac{1}{e}.

(β) f”(x) = dfrac{-dfrac{1}{x}· x² - (1-ln x)· 2x}{x⁴} = dfrac{-x - 2x(1-ln x)}{x⁴} = dfrac{-1 - 2(1-ln x)}{x³} = dfrac{2ln x - 3}{x³}. f”(x) = 0 ⇔ ln x = dfrac{3}{2} ⇔ x = e⁽3/2⁾. f” < 0 για 0 < x < e⁽3/2⁾ (κοίλη), f” > 0 για x > e⁽3/2⁾ (κυρτή). Σημείο καμπής: (e⁽3/2⁾, dfrac{3}{2e⁽3/2⁾}).

(γ) lim₍x→ 0⁺₎dfrac{ln x}{x} = -∞ (αριθμ. -∞, παρονομ. 0⁺): κατακόρυφη ασύμπτωτη x=0. lim₍x→ +∞₎dfrac{ln x}{x} stackrel{DLH}{=} lim dfrac{1/x}{1} = 0: οριζόντια ασύμπτωτη y=0.

(δ) Αφού η f είναι αύξουσα στο (0, e] και φθίνουσα στο [e, +∞), και e < π, έχουμε f(e) > f(π), δηλαδή dfrac{ln e}{e} > dfrac{lnπ}{π} ⇒ dfrac{1}{e} > dfrac{lnπ}{π} ⇒ π > elnπ = lnπ^e ⇒ e⁽π⁾ > e⁽lnπ^e⁾ = π^e. quad boxed{e⁽π⁾ > π⁽e⁾}.

Γ2. Έστω η δεξιά κορυφή του ορθογωνίου στο σημείο (x, 0) με 0 < x < 5. Λόγω συμμετρίας η αριστερή είναι στο (-x, 0). Οι πάνω κορυφές βρίσκονται στο ημικύκλιο: (± x, √(25 - x²)).

(α) Πλάτος = 2x, ύψος = √(25 - x²). Άρα E(x) = 2x√(25 - x²), quad 0 < x < 5.

(β) E²(x) = 4x²(25 - x²). Έστω g(x) = 4x²(25 - x²) = 100x² - 4x⁴. g’(x) = 200x - 16x³ = 8x(25 - 2x²). g’(x) = 0 (με x > 0) ⇔ 25 - 2x² = 0 ⇔ x = dfrac{5}{√(2)} = dfrac{5√(2)}{2}. g’ θετική για 0 < x < dfrac{5√(2)}{2}, αρνητική για dfrac{5√(2)}{2} < x < 5 — μέγιστο. Διαστάσεις: πλάτος 2x = 5√(2), ύψος √{25 - dfrac{25}{2}} = √{dfrac{25}{2}} = dfrac{5√(2)}{2}.

(γ) Μέγιστο εμβαδό: Eₘₐₓ = 5√(2)·dfrac{5√(2)}{2} = dfrac{50}{2} = boxed{25} τετραγωνικές μονάδες.

Γ3. f(x) = x² και y = 2x. (α) x² = 2x ⇒ x(x-2) = 0 ⇒ x = 0 ή x = 2. Σημεία τομής: (0,0) και (2, 4).

(β) Για 0 ≤ x ≤ 2, 2x ≥ x². Άρα E = ∫₀² (2x - x²)dx = [x² - dfrac{x³}{3}]₀² = 4 - dfrac{8}{3} = boxed{dfrac{4}{3}} τετραγωνικές μονάδες.

(γ) Όγκος περιστροφής περί τον x-άξονα (μέθοδος δίσκων με τη διαφορά τετραγώνων, αφού 2x ≥ x² ≥ 0 στο [0,2]): V = π∫₀² [(2x)² - (x²)²]dx = π∫₀² (4x² - x⁴)dx = π[dfrac{4x³}{3} - dfrac{x⁵}{5}]₀² = π(dfrac{32}{3} - dfrac{32}{5}) = π·dfrac{32(5-3)}{15} = boxed{dfrac{64π}{15}} κυβικές μονάδες.

Σύνολο: 40 + 30 + 30 = 100 μονάδες

Σημείωση επιμελητή (Σπασίκλας)

Αυτό το δοκιμαστικό δημιουργήθηκε από τον Σπασίκλα ως εξάσκηση για τις Παγκύπριες Εξετάσεις 2026. Δεν αποτελεί επίσημο εξεταστικό υλικό του Υπουργείου Παιδείας. Οι ερωτήσεις είναι πρωτότυπες, μοντελοποιημένες πάνω στη δομή και τη δυσκολία των επίσημων εξετάσεων 2023–2025. Για επίσημα παλιά θέματα: spasiklas.com/themata-lyseis.