ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΝΕΟΛΑΙΑΣ

⚠️ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ — AI Generated

Αυτό το δοκιμαστικό δοκίμιο δημιουργήθηκε από τεχνητή νοημοσύνη (AI) του Σπασίκλα, με βάση τον επίσημο Πίνακα Προδιαγραφών 2026 του Υπουργείου Παιδείας και τα παρελθόντα θέματα Παγκυπρίων Εξετάσεων. Παρότι έγινε προσπάθεια για ακρίβεια, μπορεί να περιέχει λάθη ή ανακρίβειες. Δεν είναι επίσημο δοκίμιο. Χρησιμοποιήστε το ως βοηθητικό υλικό εξάσκησης, όχι ως μοναδική πηγή προετοιμασίας.

Έλεγξε τις απαντήσεις με τον/την καθηγητή/τριά σου ή με τα επίσημα παλαιότερα θέματα.

ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2026 — ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟ (Σπασίκλας)

Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ (Κωδικός 038) Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες Σύνολο σελίδων: 6 Επιτρέπεται: Μη προγραμματιζόμενο υπολογιστικό μηχάνημα

Οδηγίες προς υποψηφίους

• Το δοκίμιο αποτελείται από δύο μέρη (Α, Β) συνολικά 10 ερωτήσεις.
• Να απαντήσετε σε όλες τις ερωτήσεις.
• Στο ΜΕΡΟΣ Α’ υπάρχουν 6 ερωτήσεις × 6 μονάδες (σύνολο 36 μονάδες).
• Στο ΜΕΡΟΣ Β’ υπάρχουν 4 ερωτήσεις × 16 μονάδες (σύνολο 64 μονάδες).
• Όλα τα αποτελέσματα να συνοδεύονται από κατάλληλη αιτιολόγηση και να αναγράφονται μαζί με τις μονάδες μέτρησης (SI).
• Όπου εμφανίζονται σχήματα στο πρωτότυπο, εδώ περιγράφονται λεκτικά. Σε δοκίμιο εκτύπωσης αντικαθίστανται με τα αντίστοιχα σχήματα.

Δίνονται:

Όπου δεν αναφέρεται, αγνοούνται οι αντιστάσεις (τριβές, αντίσταση αέρα) και θεωρούνται ιδανικές οι ηλεκτρικές πηγές.

ΜΕΡΟΣ Α’ — 6 ερωτήσεις × 6 μονάδες (36 μονάδες)

Α1. (6 μονάδες) — Μηχανική στερεού σώματος

Ομογενής λεπτή ράβδος μάζας M = 3,0 kg και μήκους L = 1,2 m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα αυτό είναι I = (1)/(3) M L².

Η ράβδος αφήνεται από οριζόντια θέση να εκτελέσει στροφική κίνηση υπό την επίδραση του βάρους της.

(α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας I. (1 μονάδα) (β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση α της ράβδου τη στιγμή που αφήνεται. (3 μονάδες) (γ) Να υπολογίσετε την επιτρόχια επιτάχυνση του ελεύθερου άκρου της ράβδου τη στιγμή που αφήνεται. (2 μονάδες)

Α2. (6 μονάδες) — Ταλαντώσεις

Σώμα μάζας m = 0,5 kg είναι προσαρτημένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, με πλάτος A = 0,10 m.

(α) Να υπολογίσετε την περίοδο T της ταλάντωσης. (2 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα v₍max₎ και τη μέγιστη επιτάχυνση a₍max₎ του σώματος. (2 μονάδες) (γ) Σε ποια θέση x η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με την τριπλάσια της δυναμικής του ενέργειας; (2 μονάδες)

Α3. (6 μονάδες) — Κύματα

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη θετική φορά του άξονα x, με εξίσωση

y(x, t) = 0,04 sin(8π t - 4π x ) (m)

όπου t σε δευτερόλεπτα και x σε μέτρα.

(α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. (2 μονάδες) (β) Να βρείτε το μήκος κύματος και τη συχνότητα. (2 μονάδες) (γ) Να γράψετε την εξίσωση ταχύτητας u_y(x,t) ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου και να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης. (2 μονάδες)

Α4. (6 μονάδες) — Ηλεκτρικό πεδίο

Δύο σημειακά φορτία q₁ = +4 muC και q₂ = -1 muC είναι ακινητοποιημένα κατά μήκος του άξονα x, στα σημεία x₁ = 0 και x₂ = +0,30 m αντίστοιχα.

(α) Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά του ηλεκτρικού πεδίου vec{E} στο σημείο M με x_M = +0,10 m. (3 μονάδες) (β) Να βρείτε τη θέση πάνω στον άξονα x όπου η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μηδενίζεται. (3 μονάδες)

Α5. (6 μονάδες) — Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή

Ορθογώνιο πηνίο πλευρών a = 0,10 m, b = 0,20 m και N = 200 σπείρες, βρίσκεται σε χώρο όπου επικρατεί ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδό του. Το μέτρο του πεδίου μειώνεται γραμμικά από B₁ = 0,50 T σε B₂ = 0,10 T μέσα σε χρόνο Δ t = 0,40 s.

(α) Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής διά μιας σπείρας. (2 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε το μέτρο της επαγόμενης ηλεκτρεγερτικής δύναμης (ΗΕΔ) στα άκρα του πηνίου. (2 μονάδες) (γ) Αν η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι R = 8 Ω, να υπολογίσετε την ένταση του επαγωγικού ρεύματος. (2 μονάδες)

Α6. (6 μονάδες) — Σύγχρονη φυσική / Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο

Φωτόνια συχνότητας f = 1,2 × 10¹⁵ Hz προσπίπτουν σε μεταλλική επιφάνεια με έργο εξαγωγής varphi = 3,0 eV.

(α) Να βρείτε την ενέργεια κάθε φωτονίου σε joules και σε eV. (2 μονάδες) (β) Να εξετάσετε αν εκπέμπονται φωτοηλεκτρόνια και, αν ναι, να υπολογίσετε τη μέγιστη κινητική ενέργειά τους. (2 μονάδες) (γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα των εκπεμπόμενων φωτοηλεκτρονίων. (2 μονάδες)

ΜΕΡΟΣ Β’ — 4 ερωτήσεις × 16 μονάδες (64 μονάδες)

Β1. (16 μονάδες) — Δυναμική / Διατήρηση ενέργειας / Σύγκρουση

Σχήμα Β1: Στο πάνω μέρος λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας θ = 30^° ηρεμεί σώμα Α μάζας m₁ = 2,0 kg σε ύψος h = 1,25 m από τη βάση του. Στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, πάνω σε λείο οριζόντιο τμήμα δαπέδου, ηρεμεί δεύτερο σώμα Β μάζας m₂ = 3,0 kg. Το Β είναι συνδεδεμένο με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 600 N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το ελατήριο αρχικά βρίσκεται στο φυσικό του μήκος.

 A (m1)
 ● 
 . 
 . 
 . θ=30°
 .\____ Β (m2) ──/\/\/\─── τοίχος
 ⇧─── λείο οριζόντιο τμήμα ───⇧

Το σώμα Α αφήνεται ελεύθερο και ολισθαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο, φτάνει στο οριζόντιο τμήμα και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το σώμα Β. Όλες οι επιφάνειες είναι λείες.

(α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Α λίγο πριν τη σύγκρουση με το Β. (3 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά τη σύγκρουση. (4 μονάδες) (γ) Να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την πλαστική σύγκρουση. (3 μονάδες) (δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, μετά τη σύγκρουση. (3 μονάδες) (ε) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x(t) του συσσωματώματος, θεωρώντας t = 0 τη στιγμή ακριβώς μετά τη σύγκρουση και θετική φορά τη φορά κίνησης. (3 μονάδες)

Β2. (16 μονάδες) — Μηχανική στερεού σώματος (τροχαλία – σύστημα μαζών)

Σχήμα Β2: Ομογενής δίσκος (τροχαλία) μάζας M = 4,0 kg και ακτίνας R = 0,20 m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό σχοινί. Στο ένα άκρο του σχοινιού κρέμεται σώμα μάζας m = 2,0 kg. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι I = tfrac{1}{2} M R².

 ┌─[ ● M, R ]─┐ ← οριζόντιος άξονας
 │
 │ (σχοινί)
 │
 ▣ m

(α) Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα δυνάμεων για τη μάζα m και για την τροχαλία και να γράψετε τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης. (4 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας I της τροχαλίας. (1 μονάδα) (γ) Να υπολογίσετε τη γραμμική επιτάχυνση a της μάζας m. (3 μονάδες) (δ) Να υπολογίσετε την τάση T του σχοινιού. (2 μονάδες) (ε) Αφού το σύστημα κινηθεί για t = 2,0 s, να υπολογίσετε: (i) τη γραμμική ταχύτητα της μάζας m και τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας. (3 μονάδες) (ii) τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος και να την επαληθεύσετε με βάση τη μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας. (3 μονάδες)

Β3. (16 μονάδες) — Κύματα / Συμβολή / Στάσιμα

Σε χορδή κιθάρας, σταθερά στερεωμένη στα δύο άκρα της, παράγεται στάσιμο κύμα με τη χαμηλότερη συχνότητα ταλάντωσής της (θεμελιώδης συχνότητα). Το μήκος της χορδής είναι L = 0,80 m και η ταχύτητα διάδοσης εγκάρσιων κυμάτων στη χορδή είναι v = 320 m/s.

(α) Να σχεδιάσετε (λεκτική περιγραφή είναι αποδεκτή) τη μορφή της χορδής για τη θεμελιώδη συχνότητα, σημειώνοντας δεσμούς και κοιλίες. (2 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος και τη θεμελιώδη συχνότητα. (3 μονάδες) (γ) Να υπολογίσετε τη συχνότητα της τρίτης αρμονικής της χορδής. (2 μονάδες) (δ) Στη συνέχεια η ίδια χορδή διεγείρεται μαζί με μια άλλη χορδή του οργάνου που έχει θεμελιώδη συχνότητα f’ = 205 Hz. Παρατηρείται φαινόμενο διακροτημάτων. Να υπολογίσετε τη συχνότητα των διακροτημάτων. (3 μονάδες) (ε) Πηγή ήχου εκπέμπει ομοιοτροπικά ηχητικά κύματα με ολική ισχύ P = 0,40 W. Να υπολογίσετε την ένταση του ήχου σε απόσταση r = 5,0 m από την πηγή και να εκφράσετε τη στάθμη έντασης σε dB, δεδομένου I₀ = 10⁻¹² W/m². (6 μονάδες)

Β4. (16 μονάδες) — Ηλεκτρομαγνητισμός (κύκλωμα + δύναμη Laplace)

Σχήμα Β4: Οριζόντιες, παράλληλες, λείες αγώγιμες ράγες απέχουν μεταξύ τους ell = 0,50 m και βρίσκονται μέσα σε ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο μέτρου B = 0,40 T, με φορά προς τα πάνω (έξω από τη σελίδα όταν παρατηρούμε από πάνω). Τα δύο άκρα των ραγών στη μία πλευρά συνδέονται μέσω αντιστάτη R = 2,0 Ω. Πάνω στις ράγες, κάθετα προς αυτές, τοποθετείται αγώγιμη ράβδος μάζας m = 0,10 kg, χωρίς τριβές, η οποία αρχικά είναι ακίνητη.

 R
 ┌──[ /\/\/ ]──┐
 │ │
 ───────● ════════════════ ●─────── (ράγα 1)
 ↑
 │ ράβδος (m, ℓ) → F_ext
 ↓
 ───────● ════════════════ ●─────── (ράγα 2)
 
 (κατακόρυφο B έξω από τη σελίδα)

Στη ράβδο ασκείται σταθερή οριζόντια εξωτερική δύναμη Fₑₓₜ = 0,50 N, κάθετη στις ράγες, που την μετακινεί κατά μήκος των ραγών.

(α) Όταν η ταχύτητα της ράβδου είναι v = 4,0 m/s, να υπολογίσετε: (i) την επαγόμενη ΗΕΔ στα άκρα της ράβδου, (2 μονάδες) (ii) την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και τη φορά του (να δικαιολογήσετε με τον κανόνα του Lenz). (3 μονάδες) (β) Να υπολογίσετε τη μαγνητική δύναμη (δύναμη Laplace) που ασκείται στη ράβδο όταν v = 4,0 m/s και να εξηγήσετε γιατί έχει φορά αντίθετη της Fₑₓₜ. (3 μονάδες) (γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή που v = 4,0 m/s. (2 μονάδες) (δ) Να υπολογίσετε την οριακή ταχύτητα vₒᵣ που θα αποκτήσει η ράβδος μετά από αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα. (3 μονάδες) (ε) Στην οριακή ταχύτητα, να υπολογίσετε τον ρυθμό με τον οποίο η εξωτερική δύναμη παράγει έργο και τον ρυθμό με τον οποίο αυτό μετατρέπεται σε θερμότητα στον αντιστάτη. Να σχολιάσετε την ισότητα ή μη των δύο. (3 μονάδες)

Σύνολο μονάδων: 36 + 64 = mathbf{100}

ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟΥ ΔΟΚΙΜΙΟΥ

Επιθυμούμε επιτυχία.

ΛΥΣΕΙΣ

Οι παρακάτω λύσεις δίδονται ενδεικτικά για αυτοδιόρθωση. Στις πραγματικές Παγκύπριες αντίστοιχης μορφής, εναλλακτικές πορείες λύσης γίνονται αποδεκτές εφόσον τεκμηριώνονται.

Λύση Α1.

(α) I = (1)/(3) M L² = (1)/(3) · 3,0 · (1,2)² = (1)/(3) · 3,0 · 1,44 = mathbf{1,44 kg · m²}.

(β) Όταν η ράβδος είναι οριζόντια, η ροπή του βάρους ως προς τον άξονα είναι:

τ = M g · (L)/(2) = 3,0 · 10 · 0,60 = 18 N · m.

Από τ = I α:

α = (τ)/(I) = (18)/(1,44) = mathbf{12,5 rad/s²}.

(ή ισοδύναμα α = (3g)/(2L) = (30)/(2,4) = 12,5 rad/s².)

(γ) Η επιτρόχια επιτάχυνση του ελεύθερου άκρου είναι:

aₜ = α · L = 12,5 · 1,2 = mathbf{15 m/s²}.

(Σημείωση: aₜ > g — το ελεύθερο άκρο της ράβδου «πέφτει γρηγορότερα» από ένα σώμα σε ελεύθερη πτώση, αποτέλεσμα γνωστό και θεμελιώδες.)

Λύση Α2.

(α) T = 2π √{dfrac{m}{k}} = 2π √{dfrac{0,5}{200}} = 2π · 0,05 = mathbf{0,314 s} ≈ π/10 s.

(β) ω = √(k/m) = √(400) = 20 rad/s. v₍max₎ = ω A = 20 · 0,10 = mathbf{2,0 m/s}. a₍max₎ = ω² A = 400 · 0,10 = mathbf{40 m/s²}.

(γ) Ολική ενέργεια E = tfrac{1}{2} k A². Σε θέση x: U = tfrac{1}{2} k x², K = E - U. Από K = 3U ⇒ E - U = 3U ⇒ U = E/4 ⇒ tfrac{1}{2} k x² = tfrac{1}{4} · tfrac{1}{2} k A² ⇒ x² = A²/4 ⇒ mathbf{x = ± A/2 = ± 0,05 m}.

Λύση Α3.

Σύγκριση με y = A sin(ω t - k x): ω = 8π rad/s, k = 4π rad/m, A = 0,04 m.

(α) v = ω/k = 8π / 4π = mathbf{2,0 m/s} προς τη θετική φορά του x.

(β) λ = 2π/k = 2π/(4π) = mathbf{0,50 m}. f = ω/(2π) = 8π/(2π) = mathbf{4,0 Hz}.

(γ) u_y(x,t) = dfrac{∂ y}{∂ t} = 0,04 · 8π cos(8π t - 4π x) = 0,32π cos(8π t - 4π x) (m/s). u₍y,max₎ = 0,32π ≈ mathbf{1,0 m/s}.

Λύση Α4.

(α) Στο σημείο M (x=0,10 m):

• Πεδίο από q₁: E₁ = kₑ q₁ / r₁² = 9×10⁹ · 4×10⁻⁶ / (0,10)² = 3,6×10⁶ N/C προς +x (από θετικό φορτίο, μακριά).
• Πεδίο από q₂ (αρνητικό, r₂ = 0,20 m): E₂ = 9×10⁹ · 1×10⁻⁶ / (0,20)² = 2,25×10⁵ N/C προς +x (πεδίο από αρνητικό φορτίο δείχνει προς το φορτίο).
• Συνολικό προς +x: E_M = E₁ + E₂ = 3,6×10⁶ + 0,225×10⁶ ≈ mathbf{3,83 × 10⁶ N/C} προς τη θετική φορά του x.

(β) Το μηδενικό πεδίο βρίσκεται έξω από το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ των φορτίων (γιατί τα φορτία έχουν αντίθετα πρόσημα) και πιο κοντά στο φορτίο μικρότερου μέτρου, δηλαδή στα δεξιά του q₂. Έστω σε θέση x > 0,30 με αποστάσεις r₁ = x και r₂ = x - 0,30:

(kₑ |q₁|)/(x²) = (kₑ |q₂|)/((x-0,30)²) ⇒ (4)/(x²) = (1)/((x-0,30)²).

Παίρνοντας τετραγωνική ρίζα (θετικές αποστάσεις): (2)/(x) = (1)/(x-0,30) ⇒ 2(x-0,30) = x ⇒ x = 0,60 m.

Άρα η ένταση μηδενίζεται στη θέση mathbf{x = +0,60 m}.

Λύση Α5.

Εμβαδόν σπείρας A = a · b = 0,10 · 0,20 = 0,02 m².

(α) dfrac{dΦ}{dt} = A dfrac{dB}{dt} = 0,02 · dfrac{0,10 - 0,50}{0,40} = 0,02 · (-1,0) = mathbf{-0,02 Wb/s}. (Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η ροή μειώνεται. Σε μέτρο: 0,02 Wb/s.)

(β) |varepsilon| = N | dfrac{dΦ}{dt} | = 200 · 0,02 = mathbf{4,0 V}.

(γ) I = varepsilon / R = 4,0 / 8 = mathbf{0,50 A}.

Λύση Α6.

(α) E = h f = 6,63 × 10⁻³⁴ · 1,2 × 10¹⁵ = mathbf{7,96 × 10⁻¹⁹ J}. Σε eV: E = 7,96 × 10⁻¹⁹ / (1,6 × 10⁻¹⁹) ≈ mathbf{4,97 eV}.

(β) Εφόσον E > varphi (4,97 eV > 3,0 eV), εκπέμπονται φωτοηλεκτρόνια. K₍max₎ = E - varphi = 4,97 - 3,0 = mathbf{1,97 eV} ≈ 3,16 × 10⁻¹⁹ J.

(γ) v₍max₎ = √{dfrac{2 K₍max₎}{mₑ}} = √{dfrac{2 · 3,16 × 10⁻¹⁹}{9,11 × 10⁻³¹}} = √{6,94 × 10¹¹} ≈ mathbf{8,33 × 10⁵ m/s}.

Λύση Β1.

(α) Διατήρηση μηχανικής ενέργειας στο λείο κεκλιμένο για το Α:

m₁ g h = tfrac{1}{2} m₁ v₁² ⇒ v₁ = √(2 g h) = √{2 · 10 · 1,25} = √(25) = mathbf{5,0 m/s}.

(β) Πλαστική σύγκρουση — διατήρηση ορμής:

m₁ v₁ = (m₁ + m₂) V ⇒ V = (2,0 · 5,0)/(5,0) = mathbf{2,0 m/s}.

(γ) Πριν: Kᵢ = tfrac{1}{2} m₁ v₁² = tfrac{1}{2} · 2 · 25 = 25 J. Μετά: K_f = tfrac{1}{2} (m₁+m₂) V² = tfrac{1}{2} · 5 · 4 = 10 J. Απώλεια: Δ K = 25 - 10 = mathbf{15 J}.

(δ) Μετά τη σύγκρουση το συσσωμάτωμα συμπιέζει το ελατήριο. Από διατήρηση ενέργειας στο οριζόντιο (λεία επιφάνεια):

tfrac{1}{2}(m₁+m₂) V² = tfrac{1}{2} k x₍max₎² ⇒ x₍max₎ = V √{dfrac{m₁+m₂}{k}} = 2 · √{dfrac{5}{600}} = 2 · 0,0913 ≈ mathbf{0,183 m}.

(ε) Το συσσωμάτωμα-με-ελατήριο εκτελεί ΑΑΤ με γωνιακή συχνότητα

ω = √{dfrac{k}{m₁+m₂}} = √{dfrac{600}{5}} = √(120) ≈ 10,95 rad/s.

Αρχική φάση: t=0 βρίσκεται στο φυσικό μήκος (x=0) με ταχύτητα V προς τη θετική φορά (συμπίεση). Άρα:

boxed{x(t) = dfrac{V}{ω} sin(ω t) = dfrac{2,0}{10,95} sin(10,95 t) ≈ 0,183 sin(10,95 t) (m).}

(Συμβατό με το x₍max₎ του ερωτήματος δ.)

Λύση Β2.

(α) Μάζα m: εξίσωση Newton κατακόρυφα (+ προς τα κάτω):

m g - T = m a. quad (1)

Τροχαλία: ροπή από την τάση γύρω από τον άξονα: τ = T R. Με τ = I α και κύλιση χωρίς ολίσθηση (a = α R):

T R = I α = I dfrac{a}{R} ⇒ T = dfrac{I a}{R²}. quad (2)

(β) I = tfrac{1}{2} M R² = tfrac{1}{2} · 4 · 0,04 = mathbf{0,08 kg m²}.

(γ) Από (1) και (2): m g = m a + dfrac{I}{R²} a = (m + tfrac{M}{2}) a.

a = dfrac{m g}{m + M/2} = dfrac{2 · 10}{2 + 2} = mathbf{5,0 m/s²}.

(δ) Από (1): T = m(g - a) = 2(10 - 5) = mathbf{10 N}.

(ε)(i) v = a t = 5 · 2 = mathbf{10 m/s}. ω = v/R = 10/0,20 = mathbf{50 rad/s}.

(ε)(ii) Κινητική ενέργεια συστήματος:

• Μετάθεσης m: K₁ = tfrac{1}{2} m v² = tfrac{1}{2} · 2 · 100 = 100 J.
• Περιστροφής τροχαλίας: K₂ = tfrac{1}{2} I ω² = tfrac{1}{2} · 0,08 · 2500 = 100 J.
• Σύνολο K = mathbf{200 J}.

Επαλήθευση: Διάστημα μάζας: s = tfrac{1}{2} a t² = tfrac{1}{2} · 5 · 4 = 10 m. Μείωση βαρυτικής δυναμικής ενέργειας: Δ U = m g s = 2 · 10 · 10 = 200 J. ✓ (Συμφωνία ⇒ διατήρηση μηχανικής ενέργειας.)

Λύση Β3.

(α) Θεμελιώδης συχνότητα σε χορδή με δύο σταθερά άκρα: δεσμός στο κάθε άκρο, μία κοιλία στο μέσο της χορδής. (Σχήμα: μισό μήκος κύματος.)

(β) Για θεμελιώδη: L = λ/2 ⇒ λ = 2L = mathbf{1,6 m}. f₁ = v/λ = 320/1,6 = mathbf{200 Hz}.

(γ) f₃ = 3 f₁ = mathbf{600 Hz}.

(δ) Συχνότητα διακροτημάτων: f_b = |f₁ - f’| = |200 - 205| = mathbf{5 Hz}.

(ε) Ένταση: I = dfrac{P}{4π r²} = dfrac{0,40}{4π · 25} = dfrac{0,40}{314,16} ≈ mathbf{1,27 × 10⁻³ W/m²}.

Στάθμη έντασης: L = 10 log₁₀(dfrac{I}{I₀}) = 10 log₁₀(1,27 × 10⁹) = 10 · 9,10 ≈ mathbf{91,0 dB}.

Λύση Β4.

(α)(i) varepsilon = B ell v = 0,40 · 0,50 · 4,0 = mathbf{0,80 V}.

(α)(ii) I = varepsilon / R = 0,80 / 2,0 = mathbf{0,40 A}. Με τον κανόνα του Lenz: καθώς η ράβδος κινείται προς τη φορά της Fₑₓₜ, η ροή που διέρχεται από το βρόχο αυξάνεται. Το επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια φορά ώστε να αντιτίθεται σε αυτή την αύξηση, δηλαδή να δημιουργεί μαγνητικό πεδίο μέσα στο βρόχο αντίθετο του εξωτερικού B. Από τον κανόνα του δεξιού χεριού, η φορά του ρεύματος στη ράβδο είναι έτσι ώστε η vec{F} = I vec{ell} × vec{B} να δείχνει αντίθετα της κίνησης.

(β) F₍mag₎ = B I ell = 0,40 · 0,40 · 0,50 = mathbf{0,08 N}, αντίθετης φοράς από τη Fₑₓₜ (αποτέλεσμα του Lenz: η μαγνητική δύναμη πάντα αντιστέκεται στην κίνηση που προκαλεί την ΗΕΔ).

(γ) Καθαρή δύναμη: Fₙₑₜ = Fₑₓₜ - F₍mag₎ = 0,50 - 0,08 = 0,42 N. Επιτάχυνση: a = Fₙₑₜ/m = 0,42 / 0,10 = mathbf{4,2 m/s²}.

(δ) Στην οριακή ταχύτητα η επιτάχυνση μηδενίζεται: Fₑₓₜ = B I ell = B dfrac{B ell vₒᵣ}{R} ell = dfrac{B² ell² vₒᵣ}{R}.

vₒᵣ = dfrac{Fₑₓₜ R}{B² ell²} = dfrac{0,50 · 2,0}{(0,40)² · (0,50)²} = dfrac{1,0}{0,16 · 0,25} = dfrac{1,0}{0,04} = mathbf{25 m/s}.

(ε) Pₑₓₜ = Fₑₓₜ · vₒᵣ = 0,50 · 25 = mathbf{12,5 W}. P_R = I² R = (dfrac{B ell vₒᵣ}{R})² R = dfrac{(0,40 · 0,50 · 25)²}{2,0} = dfrac{(5,0)²}{2,0} = 12,5 W.

Σχόλιο: Pₑₓₜ = P_R. Στην οριακή ταχύτητα η κινητική ενέργεια της ράβδου είναι σταθερή, άρα όλη η ισχύς που δίνει η εξωτερική δύναμη μετατρέπεται σε θερμότητα στον αντιστάτη. Αυτό είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης ενέργειας.

Σύνολο κατανομής μονάδων (έλεγχος):