⚠️ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ — AI Generated

Αυτό το δοκιμαστικό δοκίμιο δημιουργήθηκε από τεχνητή νοημοσύνη (AI) του Σπασίκλα, με βάση τον επίσημο Πίνακα Προδιαγραφών 2026 του Υπουργείου Παιδείας και τα παρελθόντα θέματα Παγκυπρίων Εξετάσεων. Παρότι έγινε προσπάθεια για ακρίβεια, μπορεί να περιέχει λάθη ή ανακρίβειες. Δεν είναι επίσημο δοκίμιο. Χρησιμοποιήστε το ως βοηθητικό υλικό εξάσκησης, όχι ως μοναδική πηγή προετοιμασίας.

Έλεγξε τις απαντήσεις με τον/την καθηγητή/τριά σου ή με τα επίσημα παλαιότερα θέματα.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΝΕΟΛΑΙΑΣ

ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2026

ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ — προετοιμασία από τον Σπασίκλα

Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Κωδικός: 043 Διάρκεια: 3 ώρες Σύνολο μονάδων: 100

ΟΔΗΓΙΕΣ

1. Το δοκίμιο αποτελείται από δύο μέρη: ΜΕΡΟΣ Α’ (6 ερωτήσεις × 8 μονάδες = 48 μονάδες) και ΜΕΡΟΣ Β’ (4 ερωτήσεις × 13 μονάδες = 52 μονάδες).
2. Να απαντήσετε σε όλες τις ερωτήσεις.
3. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης αριθμομηχανής.
4. Όλες οι απαντήσεις να τεκμηριώνονται πλήρως. Απαντήσεις χωρίς αιτιολόγηση δεν βαθμολογούνται.
5. Δίνεται τυπολόγιο.

ΜΕΡΟΣ Α’ — (48 μονάδες)

Ερώτηση 1. (8 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2, x ∈ ℝ.

α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f. β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f και να εντοπίσετε τα τοπικά ακρότατα.

Ερώτηση 2. (8 μονάδες)

Να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα:

α) displaystyle ∫ ( 4x³ - 6x² + 5 ) dx

β) displaystyle ∫ ( (2)/(x²) + 3√(x) ) dx, x > 0.

Ερώτηση 3. (8 μονάδες)

Σε ένα Λύκειο, από τους 200 μαθητές της Γ’ τάξης, 120 μαθητές παρακολουθούν Μαθηματικά Κατεύθυνσης, 80 μαθητές παρακολουθούν Φυσική Κατεύθυνσης και 50 μαθητές παρακολουθούν και τα δύο μαθήματα.

α) Πόσοι μαθητές παρακολουθούν τουλάχιστον ένα από τα δύο μαθήματα; β) Πόσοι μαθητές δεν παρακολουθούν κανένα από τα δύο; γ) Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή της Γ’ τάξης. Ποια η πιθανότητα να παρακολουθεί ακριβώς ένα από τα δύο μαθήματα;

Ερώτηση 4. (8 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x⁴ - 6x² + 1.

α) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο f”(x). β) Να μελετήσετε την κυρτότητα της f και να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Ερώτηση 5. (8 μονάδες)

Από τα γράμματα της λέξης «ΣΠΑΣΙΚΛΑΣ» (8 γράμματα συνολικά):

α) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα 8 γράμματα σε σειρά, λαμβάνοντας υπόψη ότι το γράμμα Σ εμφανίζεται 3 φορές και το γράμμα Α εμφανίζεται 2 φορές;

β) Επιλέγουμε τυχαία 3 γράμματα από τα 8 χωρίς τοποθέτηση σε σειρά (χωρίς επανατοποθέτηση). Πόσοι είναι οι δυνατοί συνδυασμοί, αν θεωρήσουμε όλα τα 8 γράμματα διακριτά;

Ερώτηση 6. (8 μονάδες)

Κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης r = 5 cm και ύψος h = 12 cm.

α) Να υπολογίσετε τον όγκο του κυλίνδρου. β) Να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδόν επιφανείας του κυλίνδρου (πλευρική + δύο βάσεις).

(Να δώσετε τις απαντήσεις σε συνάρτηση του π.)

ΜΕΡΟΣ Β’ — (52 μονάδες)

Ερώτηση 7. (13 μονάδες)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5, x ∈ ℝ.

α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f. (3 μονάδες) β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα μεταβολών και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. (4 μονάδες) γ) Να μελετήσετε την κυρτότητα και να βρείτε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης. (3 μονάδες) δ) Να σχεδιάσετε με ακρίβεια τη γραφική παράσταση της f, υποδεικνύοντας τα τοπικά ακρότατα και το σημείο καμπής. (3 μονάδες)

Ερώτηση 8. (13 μονάδες)

Μία συνάρτηση f έχει παράγωγο f’(x) = 6x² - 6x - 12 για κάθε x ∈ ℝ, και η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0, 4).

α) Να βρείτε τον τύπο της f(x). (4 μονάδες) β) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία και τα τοπικά ακρότατα της f. (4 μονάδες) γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα displaystyle ∫₀² f’(x) dx και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα. (3 μονάδες) δ) Να βρείτε όλες τις τιμές του x για τις οποίες η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι οριζόντια. (2 μονάδες)

Ερώτηση 9. (13 μονάδες)

Σε μία ομάδα 10 μαθητών (6 αγόρια και 4 κορίτσια) θα επιλεγεί τυχαία επιτροπή.

α) Πόσες διαφορετικές επιτροπές των 4 ατόμων μπορούν να σχηματιστούν χωρίς περιορισμό; (3 μονάδες) β) Πόσες επιτροπές των 4 ατόμων αποτελούνται από 2 αγόρια και 2 κορίτσια; (4 μονάδες) γ) Επιλέγεται τυχαία επιτροπή 4 ατόμων. Ποια η πιθανότητα να αποτελείται από 2 αγόρια και 2 κορίτσια; (3 μονάδες) δ) Ποια η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα κορίτσι στην επιτροπή; (3 μονάδες)

Ερώτηση 10. (13 μονάδες)

Σε μελέτη συσχέτισης μεταξύ των ωρών μελέτης (X, σε ώρες/εβδομάδα) και της επίδοσης (Y, βαθμός 0–20) 6 μαθητών, καταγράφηκαν τα παρακάτω δεδομένα:

α) Να υπολογίσετε τους μέσους όρους bar{X} και bar{Y}. (2 μονάδες) β) Να υπολογίσετε τον συντελεστή συσχέτισης r του Pearson. (7 μονάδες) γ) Να ερμηνεύσετε την τιμή του r ως προς τη φύση και την ισχύ της γραμμικής σχέσης μεταξύ των δύο μεταβλητών. (2 μονάδες) δ) Με βάση τα δεδομένα, εκτιμήστε ποια θα ήταν η αναμενόμενη βαθμολογία ενός μαθητή που μελετά 9 ώρες την εβδομάδα. (2 μονάδες)

Τέλος δοκιμίου. Καλή επιτυχία!

Δοκιμαστικό από τον Σπασίκλα · spasiklas.com

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ — ΤΕΛΟΣ ΔΟΚΙΜΙΟΥ

Οι αναλυτικές λύσεις δίνονται στο επίσημο φυλλάδιο. Παρακάτω καταγράφονται μόνο οι τελικές απαντήσεις για αυτο-έλεγχο.

ΜΕΡΟΣ Α’

1. f’(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3). Κρίσιμα: x=1, x=3.

• f γνησίως αύξουσα στο (-∞, 1] και στο [3, +∞), γνησίως φθίνουσα στο [1, 3].
• Τοπικό μέγιστο στο x=1: f(1)=1-6+9+2=6.
• Τοπικό ελάχιστο στο x=3: f(3)=27-54+27+2=2.

2. α) x⁴ - 2x³ + 5x + c. β) -dfrac{2}{x} + 2x⁽3/2⁾ + c ή ισοδύναμα -dfrac{2}{x} + 2√(x³) + c.

3. |M ∪ F| = 120+80-50 = 150. α) 150 μαθητές. β) 200 - 150 = 50 μαθητές. γ) Ακριβώς ένα: (120-50)+(80-50) = 70+30 = 100. Πιθανότητα = 100/200 = 1/2 = 0,5.

4. f’(x)=4x³-12x, f”(x)=12x²-12 = 12(x²-1).

• f”=0 ⇒ x=± 1.
• f κυρτή στα (-∞,-1) και (1,+∞), κοίλη στο (-1,1).
• Σημεία καμπής: (-1, f(-1)) = (-1, 1-6+1) = (-1, -4) και (1, f(1)) = (1, 1-6+1) = (1, -4).

5. α) Διατάξεις 8 γραμμάτων με επαναλήψεις: dfrac{8!}{3!2!} = dfrac{40320}{12} = 3360. β) Συνδυασμοί 3 από 8: binom{8}{3} = 56.

6. α) V = π r² h = π · 25 · 12 = 300π cm³. β) E = 2π r² + 2π r h = 2π(25) + 2π(5)(12) = 50π + 120π = 170π cm².

ΜΕΡΟΣ Β’

7. f’(x)=3x²-6x-9 = 3(x-3)(x+1). Κρίσιμα: x=-1, x=3.

• Μονοτονία: αύξουσα στο (-∞,-1], φθίνουσα στο [-1,3], αύξουσα στο [3,+∞).
• Τοπικό μέγιστο: f(-1) = -1-3+9+5 = 10, άρα (-1, 10).
• Τοπικό ελάχιστο: f(3) = 27-27-27+5 = -22, άρα (3, -22).
• f”(x)=6x-6 = 0 ⇒ x=1. Σημείο καμπής: (1, f(1)) = (1, 1-3-9+5) = (1, -6).
• f κοίλη στο (-∞, 1), κυρτή στο (1, +∞).

8. α) f(x) = ∫ (6x²-6x-12)dx = 2x³ - 3x² - 12x + c. Από f(0)=4: c=4. Άρα f(x)=2x³-3x²-12x+4. β) f’(x)=6x²-6x-12=6(x-2)(x+1). Κρίσιμα: x=-1, x=2.

• Τοπικό μέγιστο: f(-1) = -2-3+12+4 = 11.
• Τοπικό ελάχιστο: f(2) = 16-12-24+4 = -16. γ) displaystyle ∫₀² f’(x)dx = f(2)-f(0) = -16 - 4 = -20. Ερμηνεία: η συνολική μεταβολή της f στο διάστημα [0,2] είναι -20 (η f μειώθηκε κατά 20 μονάδες). δ) Οριζόντια εφαπτομένη ⇔ f’(x)=0 ⇔ x=-1 ή x=2.

9. α) binom{10}{4} = 210. β) binom{6}{2}binom{4}{2} = 15 · 6 = 90. γ) P = dfrac{90}{210} = dfrac{3}{7} ≈ 0,429. δ) P(τουλάχιστον ένα κορίτσι) = 1 - P(κανένα κορίτσι) = 1 - dfrac{binom{6}{4}}{binom{10}{4}} = 1 - dfrac{15}{210} = 1 - dfrac{1}{14} = dfrac{13}{14} ≈ 0,929.

10. α) bar{X} = (2+4+6+8+10+12)/6 = 42/6 = 7. bar{Y} = (8+10+12+14+16+18)/6 = 78/6 = 13. β) Παρατηρούμε Y = X + 6 ⇒ τέλεια θετική γραμμική σχέση. Υπολογισμός:

• Σ (xᵢ-bar{x})(yᵢ-bar{y}): αποκλίσεις του X: -5,-3,-1,1,3,5. Αποκλίσεις του Y: -5,-3,-1,1,3,5. Γινόμενα: 25+9+1+1+9+25 = 70.
• Σ (xᵢ-bar{x})² = 25+9+1+1+9+25 = 70.
• Σ (yᵢ-bar{y})² = 70.
• r = dfrac{70}{√(70 · 70)} = dfrac{70}{70} = 1. γ) r=1: τέλεια θετική γραμμική συσχέτιση μεταξύ ωρών μελέτης και επίδοσης. δ) Από τη σχέση Y = X + 6: για X=9, hat{Y} = 9+6 = 15.

Τέλος λύσεων.